穿针引线法的原理

对于形如

$$K=\frac{a_1·a_2·a_3···a_n}{b_1·b_2·b_3···b_m}（其中 a_i,b_i\in \mathbb{R} \setminus \{0\} 且互不相同）$$

的式子，可知字母 $K$ 的符号的正负性取决于 ${a_1,a_2,a_3,···,a_n},{b_1,b_2,b_3,···,b_m}$ 这 $m+n$ 个数中负因子的个数——如果有偶数个（注意0是一个特殊的偶数），则 $K$ 是正数。如果有奇数个，则 $K$ 是负数。

同理，对于式子

$$P_{(x)}=\frac{(x-a_1)·(x-a_2)·(x-a_3)···(x-a_n)}{(x-b_1)·(x-b_2)·(x-b_3)···(x-b_m)}，$$

当 $x$ 大于 ${a_1,a_2,a_3,···,a_n},{b_1,b_2,b_3,···,b_m}$ 中最大的那个数的时候，式子中的每个因式都是大于零的（就是说，因式中取负数的个数为零）。但是当 $x$ 每经过一次分子或者分母的根，就有一个因式改变符号，由大于零变为小于零，而其余因式的符号不变。这时整个式子因式取负数的符号的奇偶性就发生的变化，也就是整个 $P_{(x)}$ 的符号发生了变化。²

参考资料

¹. 穿针引线法 ↩

². 穿针引线法解不等式的原理解释 ↩