穿针引线法的原理

对于形如
$K = \frac{a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n}}{b_{1} \cdot b_{2} \cdot b_{3} \cdot \cdot \cdot b_{m}} （其中 a_{i}, b_{i} \in R ∖ {0} 且互不相同）$
的式子，可知字母 $K$ 的符号的正负性取决于 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, \cdot \cdot \cdot, b_{m}$ 这 $m + n$ 个数中负因子的个数——如果有偶数个（注意0是一个特殊的偶数），则 $K$ 是正数。如果有奇数个，则 $K$ 是负数。

同理，对于式子
$P_{(x)} = \frac{(x - a_{1}) \cdot (x - a_{2}) \cdot (x - a_{3}) \cdot \cdot \cdot (x - a_{n})}{(x - b_{1}) \cdot (x - b_{2}) \cdot (x - b_{3}) \cdot \cdot \cdot (x - b_{m})} ，$
当 $x$ 大于 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, \cdot \cdot \cdot, b_{m}$ 中最大的那个数的时候，式子中的每个因式都是大于零的（就是说，因式中取负数的个数为零）。但是当 $x$ 每经过一次分子或者分母的根，就有一个因式改变符号，由大于零变为小于零，而其余因式的符号不变。这时整个式子因式取负数的符号的奇偶性就发生的变化，也就是整个 $P_{(x)}$ 的符号发生了变化。²

参考资料

¹. 穿针引线法 ↩

². 穿针引线法解不等式的原理解释 ↩